Закон Ома для цепи переменного тока: формула взаимосвязи между электрическими величинами, порядок расчета

Основные понятия

Вся электротехническая наука построена на работе с такими понятиями, как заряд и потенциал. Кроме того, важными явлениями в цепи являются электрические и магнитные поля. Чтобы понять суть закона Ома, необходимо понять, что это за величины и от чего зависят те или иные электромагнитные процессы.

Электричество — это явление, вызванное взаимодействием между зарядами и их движением. Это слово было введено в обиход Уильямом Гилбертом в 1600 году после открытия им способности некоторых тел электризоваться.

Поскольку свои опыты он проводил с кусочками янтаря, свойство притягивать или отталкивать другие вещества он назвал «янтарем», что по-гречески звучит как электричество.

Впоследствии ряд явлений был открыт различными учеными, такими как Эрстед, Ампер, Джоуль, Фарадей, Вольт, Ленц и Ом. Благодаря их исследованиям в быту появились понятия: электромагнитная индукция и поля, гальванический элемент, ток и потенциал.

Они открыли связь между электричеством и магнетизмом, что привело к возникновению науки, изучающей теорию электромагнитных явлений.

В 1880 году русский инженер Лачинов теоретически указал условия, необходимые для передачи электричества на расстояния. А через 8 лет Генрих Рудольф Герц в ходе опытов зафиксировал электромагнитные волны.

Таким образом было обнаружено, что электрические заряды способны создавать вокруг себя электрическое излучение. Условно их делили на частицы с положительным и отрицательным знаком заряда. Оказалось, что заряды одного знака притягиваются, а заряды противоположного знака отталкиваются. Для возникновения их движения к физическому телу необходимо использовать какую-то энергию. При их движении создается магнитное поле.

Свойство материалов обеспечивать движение зарядов называется проводимостью, а обратная ей величина сопротивлением. Способность проводить через себя заряды зависит от строения кристаллической решетки вещества, ее связей, дефектов и содержания примесей.

Определение напряжения

Ученые установили, что существует два типа движения зарядов — хаотическое и направленное. Первый тип не приводит ни к каким процессам, так как энергия находится в уравновешенном состоянии. Но если к телу приложить силу, заставляющую заряды следовать в одном направлении, возникнет электрический ток. Есть два типа:

1. Постоянная — сила и направление, которые остаются постоянными во времени.
2. Переменная — имеет различное значение в определенное время и меняет свое движение, при этом повторяя изменение (цикл) через равные промежутки времени. Эта изменчивость описывается гармоническим законом синуса или косинуса.

Заряд характеризуется таким понятием, как потенциал, то есть количество энергии, которой он обладает. Сила, необходимая для перемещения заряда из одной точки тела в другую, называется напряжением.

Он определяется по изменению потенциала заряда. Сила тока определяется соотношением между количеством заряда, прошедшего через тело в единицу времени, и величиной этого периода. Математически это описывается выражением: Im = ∆Q/ ∆t, измеряется в амперах (А).

В случае переменного сигнала вводится дополнительная величина — частота f, определяющая цикличность прохождения сигнала f = 1/T, где T — период. За единицу измерения принят герц (Гц). Исходя из этого, синусоидальный ток выражается формулой:

I = Im * sin (w * t + Ψ), где:

• Im – сила тока в конкретный момент времени;
• Ψ — фаза, определяемая смещением волны тока относительно напряжения;
• w — круговая частота, эта величина зависит от периода и равна w = 2 * p * f.

Напряжение характеризуется работой, которую совершает электрическое поле для переноса заряда из одной точки в другую. Он определяется как разность потенциалов: Um = φ1 — φ2. Используемая работа состоит из двух сил: электрической и третьей стороны, называемой электродвижущей силой (ЭДС).

Это зависит от магнитной индукции. Потенциал равен отношению энергии взаимодействия заряда с окружающим полем и величине его величины.

Следовательно, для гармонического изменения сигнала значение напряжения выражается как:

U = Um * sin (w * t + Ψ).

Где Um – амплитудное значение напряжения. Напряжение переменного тока измеряется в вольтах (В).

Импеданс цепи

Каждое физическое тело имеет свое сопротивление. Это связано с внутренней структурой ткани. Эта величина характеризуется свойством проводника препятствовать прохождению тока и зависит от конкретного электрического параметра.

Определяется по формуле: R = ρ*L/S, где ρ – удельное сопротивление, являющееся скалярной величиной, Ом*м; L – длина проводника; м; S – площадь поперечного сечения, м2. Это выражение определяет постоянное сопротивление, присущее пассивным элементам.

При этом импеданс, импеданс, находится как сумма пассивной и реактивной составляющих.

Первое определяется только активным сопротивлением, состоящим из резистивной нагрузки источника питания и резисторов: R = R0 + r Второе находится как разность между емкостным и индуктивным сопротивлениями: X = XL-Xc.

 

Если в электрическую цепь поместить идеальный (без потерь) конденсатор, он зарядится после того, как до него дойдет переменный сигнал. Ток начнет течь дальше, в соответствии с периодами заряда и разряда. Количество электричества, протекающего в цепи, равно: q = C * U, где C — мощность элемента, Ф; U — напряжение источника тока или на обкладках конденсатора, В.

Так как скорости изменения тока и напряжения прямо пропорциональны частоте w, будет справедливо следующее выражение: I = 2 * p * f * C * U. Отсюда получается, что емкостное сопротивление рассчитывается по формуле формула:

Xc = 1/ 2 * p * f * C = 1 / w * C, Ом.

Индуктивное сопротивление возникает из-за появления в проводнике собственного поля, называемого ЭДС для ЭЛ самоиндукции. Это зависит от индуктивности и скорости изменения тока.

В свою очередь индуктивность зависит от формы и размера проводника, магнитной проницаемости среды: L = F/I, измеряется в теслах (Тл).

Поскольку напряжение, приложенное к индуктивности, равно по величине ЭДС самоиндукции, справедливо EL = 2 * p * f * L * I. В этом случае скорость изменения тока пропорциональна частоте w. Исходя из этого, индуктивное сопротивление равно:

Xl = w*L, Ом.

Таким образом, полное сопротивление цепи рассчитывается как: Z = (R 2 + (X cX l) 2) ½, Ом.

То есть зависит от частоты переменного сигнала, индуктивности и емкости цепи, а также активного сопротивления источника и электрического провода. При этом в качестве реактивной составляющей чаще всего выступают паразитные величины.

Действующие значения силы тока и напряжения

Определение 3

В связи с необходимостью согласования уравнения для постоянного тока необходимо ввести определения действующих значений тока и напряжения:

ID=102; УД=U02.

Особенности переменного напряжения, тока

Генераторы, вырабатывающие электроэнергию, устроены так, что напряжение, скорость заряда в наших ЛЭП меняется по гармоническому закону:

u = Umsin(ωt+φ0), i = Imsin(ωt+φ0).

Обозначения:

• u, i — мгновенные значения (в произвольный момент времени);
• Um, Im — амплитудные значения (максимальные);
• Um – амплитуда напряжения;
• Im – текущая амплитуда;
• т время;
• величина ω — циклическая частота.

Значение ω связано с линейной частотой ν выражением:

ω = 2πν:

• π = 3,14 — математическая константа;
• ν = 50 Гц (для электрических сетей нашей страны).

Произведение ωt называется фазой:

ωt = φ.

Измеряемая в радианах (рад), φ0 является начальной фазой, часто равной нулю. Использование функции cos в формулах не меняет смысла физических выражений.

Если к обычному сопротивлению (это может быть лампа накаливания, термонагреватель) приложить напряжение, изменяющееся по гармоническому закону, через него начнут двигаться частицы, характер движения которых меняется по тому же закону.

Изменение значений будет синхронным, фазы будут одинаковыми. Такое сопротивление называется активным.

Эффективные значения

Среднее арифметическое напряжения, скорости заряда за период равно нулю, поэтому его нельзя использовать для характеристики колебательного процесса. Квадраты этих величин, их средние значения всегда положительны.

Квадрат среднего значения тока равен половине квадрата амплитудного значения:

Is2 = Im2/2.

Является средним значением. Его еще называют эффективным (другое название активным):

Is = Im/√2.

Квадрат тока пропорционален количеству энергии, вырабатываемой в проводнике: Q ~ Is2.

Действующее значение переменного тока равно постоянному току, где за время t = T выделяется такое же количество теплоты. Для действующего значения напряжения формула равна:

Us = Um/√2.

Это действующие значения, которые показывают измерительные приборы.

Происхождение индуктивного сопротивления

Вокруг проводника с движущимися зарядами существует магнитное поле. Он слабенький, но магнитная стрелка на него реагирует.

Если проводник намотан на катушку, магнитное поле будет намного сильнее. Это приводит к возникновению в катушке разного вида тока. Его возникновение в проводнике под действием магнитного поля называется электромагнитной индукцией. Обмотка называется индуктором, а движение зарядов называется индукционным током.

Одним из проявлений электромагнитной индукции является самоиндукция: появление дополнительной ЭДС в моменты резких изменений силы тока.

Это не колебания, возбуждаемые генератором, а изменения в момент включения, выключения, короткого замыкания. Для явления справедлива формула:

Esi = -L(ΔI/Δt).

Обозначения:

• Esi — ЭДС самоиндукции;
• ΔI — изменение силы тока;
• Δt – временной интервал;
• L — индуктивность катушки, коэффициент самоиндукции.

Величина L является характеристикой магнитных свойств катушки, измеряется в Генри (H).

Индуктивность катушки равна 1 Гн, если при изменении значения I на 1 А за 1 секунду возникает ЭДС самоиндукции величиной 1 В.

Читайте также: Первый закон Кирхгофа для электрической цепи

Закон Ома для катушки индуктивности

Индуктивное магнитное поле замедляет движение свободных зарядов по проводнику. Это является причиной дополнительного (индуктивного) сопротивления. Это зависит от индуктивности L, частоты сигнала:

RL = ωL,

где RL — индуктивное сопротивление.

Зависимость свойств для участка цепи с индуктором имеет вид:

Я = У/РЛ.

Катушка индуктивности имеет одну функцию: в ней колебания напряжения и скорость заряда изменяются по фазе.

Колебания напряжения приводят к колебаниям тока с четвертью периода:

u = Umsinωt, i = Imsin(ωt – π/2).

Разность значений его функции для 2-х колебаний называется фазовым сдвигом. Для индуктивной катушки:

ωt — (ωt — π/2) = π/2 = 90°.

Для наглядности фазовый сдвиг Δφ изображен в виде векторной диаграммы. Часть цепи, где имеется разность фаз между колебаниями тока и напряжения, называется реактивной нагрузкой.

Закон Ома для участка цепи с конденсатором

Для постоянного сигнала конденсатор является непреодолимым препятствием. Переменный сигнал проходит через него с некоторым усилием. Его называют емкостным сопротивлением.

Она зависит от емкости конденсатора, частоты сигнала и обратно пропорциональна произведению:

RC = 1/ωС.

Обозначения:

• RC — емкостное сопротивление;
• ω – круговая частота;
• С — емкость конденсатора.

Зависимость значений для участка цепи с конденсатором записывается следующим образом:

I = U/RC.

Конденсатор является реактивной нагрузкой. Колебания напряжения, скорости изменения заряда не синхронны. Изменение U отстает от колебаний I на четверть периода:

u = Umsinωt, i = Imsin(ωt + π/2).

Фазовый сдвиг составляет 90°. Индуктивные, емкостные нагрузки сдвигают фазу в противоположных направлениях.

Закон Ома для типовых соединений

Резисторы, катушки индуктивности, конденсаторы подключаются несколькими способами:

• все три элемента последовательно;
• все три параллельны;
• два параллельны, третий последовательно с ними.

Запись закона Ома не меняется, только есть отличие — в формуле для полного сопротивления.

Для цепей с активными, реактивными элементами ее называют полной или сложной, ее обозначают символом Z.

Так как на конденсаторе, катушке происходит фазовый сдвиг, то рассматриваются не сами сопротивления, а их квадраты.

Катушка имеет активное сопротивление как проводник, индуктивное — как проявление электромагнитной индукции.

Резистивная цепь, катушки обозначают RL. При последовательном соединении импеданс равен:

Z = √(R2 + RL2) = √(R2 + (ωL)2);

• Зависимость I для этого случая:

I = U/Z = U/√(R2 + ω2L2);

• Секция резистора и конденсатора представляет собой RC-цепь. Как соединить последовательно:

Z = √(R2 + RC2) = √(R2 + (1/ωC)2);

• Зависимость от значений для этого соединения:

I = U/Z = U/√(R2 + (1/ωC)2)

Для последовательного соединения всех элементов (цепь RLC) значение импеданса равно:

Z = √(R2 + (RL – RC)2) = √(R2 + (ω2L2 – (1/ω2C2)2)).

Комплексное сопротивление параллельного соединения находится из выражения:

1/Z2 = 1/R2 + 1/(RL2 – RC2).

Знание функций тока переменного сигнала в цепи с конденсатором, катушкой индуктивности помогает при расчете радиосхем. Реактивные элементы используются в фильтрах верхних и нижних частот. Явление возникновения колебаний, резонанса широко используется в современных средствах связи.

Закон для переменного тока

Классический закон был открыт немецким физиком Симоном Омом в 1862 году. Экспериментальным путем он обнаружил связь между током и напряжением. В результате ученый сформулировал утверждение, что сила тока пропорциональна разности потенциалов и обратно пропорциональна сопротивлению. Если ток в цепи уменьшится в несколько раз, то во столько же раз уменьшится и напряжение в ней.

Математически закон Ома описывается как:

Я = У/Р, А.

Это выражение справедливо как для синусоидального, так и для постоянного тока. Но такая зависимость величин соответствует идеальной ситуации, когда не учитываются паразитные составляющие и сопротивление источника тока.

В случае гармонического сигнала на прохождение влияет частота из-за наличия в электрической линии емкостной и индуктивной составляющих.

Следовательно, закон Ома для переменного тока описывается формулой:

I = U/Z, где:

• I — переменный ток, А;
• U — разность потенциалов, В;
• Z — полное сопротивление цепи, Ом.

Импеданс зависит от частоты гармонического сигнала и рассчитывается по следующей формуле:

Z = ((R+r)2+ (w*L — 1/w*C)2)1 = ((R+r)2+X2)1)½.

При прохождении переменного тока через электромагнитное поле совершается работа, и за счет сопротивления, оказываемого в цепи, выделяется тепло. То есть электрическая энергия преобразуется в тепловую энергию. Эффект пропорционален току и напряжению. Формула, описывающая мгновенное значение, выглядит так: P = I*U.

В то же время для переменного сигнала необходимо учитывать амплитудную и частотную составляющие. Следовательно:

P = I *U*cosw*t*cos (w*t+ Ψ), где I, U — значения амплитуды, Ψ — фазовый сдвиг.

Для анализа процессов в электрических цепях переменного тока вводится понятие комплексного числа. Это происходит из-за фазового сдвига, который возникает между током и разностью потенциалов.

Это число обозначается латинской буквой j и состоит из мнимой Im и действительной Re частей.

Так как на активном резисторе мощность преобразуется в тепло, а на реактивном — в энергию электромагнитного поля, то возможен переход из любой формы в любую. Можно написать: Z = U/I = z*ej*Ψ.

Отсюда полное сопротивление цепи: Z = r + j * X, где r и x — активное и реактивное сопротивления соответственно. Если фазовый сдвиг предполагается равным 900, комплексное число можно игнорировать.

Для замкнутой цепи

На самом деле, это только предисловие. Вернемся к реактивному и активному сопротивлению. Разница между активным сопротивлением и реактивным сопротивлением заключается в том, что в цепи с активным сопротивлением фаза тока совпадает с фазой напряжения.

Это означает, что и значение тока, и значение напряжения достигают пика в одном и том же направлении в одно и то же время. При этом наша формула расчета напряжения, сопротивления или тока не меняется.

Следствия закона Ома Следствия закона Ома.

Если в цепи присутствует реактивное сопротивление, фазы тока и напряжения сдвинуты друг от друга на ¼ периода. Это означает, что когда ток достигает своего максимального значения, напряжение будет равно нулю и наоборот. Когда применяется индуктивное сопротивление, фаза напряжения «берет на себя» фазу тока.

Когда применяется емкость, текущая фаза «берет на себя» фазу напряжения.

Формула для расчета падения напряжения на индуктивном реактивном сопротивлении:

U = I ⋅ ωL

Где L — индуктивность реактивного сопротивления, а ω — угловая частота (производная по времени фазы колебаний).

Формула для расчета падения напряжения на емкости:

U = I / ω ⋅ С

C — реактивная емкость.

Эти две формулы являются частными случаями закона Ома для переменных цепей.

Полный будет выглядеть так:

Я=У/Я

Здесь Z — импеданс переменной цепи, известный как импеданс.

Сфера применения

Закон Ома не является фундаментальным законом физики, это просто практическая зависимость одних величин от других, которая подходит практически для любой ситуации на практике. Поэтому проще будет перечислить ситуации, когда закон может не сработать:

• Если есть инерция носителей заряда, например в некоторых высокочастотных электрических полях;
• В сверхпроводниках;
• Если провод нагрет до такой степени, что вольт-амперная характеристика перестанет быть линейной. Например в лампах накаливания;
• В вакуумных и газовых радиолампах;
• В диодах и транзисторах.

Последовательное и параллельное включение элементов

Для элементов электрической цепи (участка цепи) характерным моментом является последовательное или параллельное соединение. Соответственно каждому типу соединения сопутствует различный характер протекания тока и подачи напряжения. В этом случае закон Ома также используется по-разному, в зависимости от возможности включения элементов.

Цепь последовательно включенных резистивных элементов

В случае последовательного соединения (часть цепи с двумя компонентами) используется формулировка:

• Я = я1= я2 ;
• У = У1 + У2 ;
• Р = Р1 + Р2

Эта формулировка ясно показывает, что независимо от количества последовательно соединенных резистивных элементов ток, протекающий в части цепи, не меняет своего значения. Величина напряжения, приложенного к активным резистивным компонентам в цепи, является суммой и суммируется со значением источника ЭДС.

В этом случае напряжение на каждом отдельном компоненте составляет: Ux = I * Rx. Общее сопротивление следует рассматривать как сумму значений всех резистивных компонентов в цепи.

Цепь параллельно включенных резистивных элементов

В случае, когда имеет место параллельное соединение резистивных составляющих, справедливой считается формулировка с учетом закона немецкого физика Ома:

• I = I1 + I2 … ;
• U = U1= U2 … ;
• 1 / R = 1 / R1+ 1 / R2 + …

Не исключены варианты составления участков схемы «смешанного» типа при использовании параллельных и последовательных соединений. Для таких вариантов расчет обычно производят при первом расчете номинала сопротивления параллельного соединения. Затем к полученному результату прибавьте номинал резистора, соединенного последовательно.

Интегральная и дифференциальная формы закона

Все вышеперечисленные пункты с расчетами относятся к условиям, когда в составе электрических цепей используются проводники, так сказать, «однородной» структуры. Между тем на практике часто приходится иметь дело с построением схемы, где структура лидеров меняется на разных участках.

Например, используются провода большего сечения или, наоборот, меньшего, изготовленные на основе разных материалов.

Для учета таких различий существует вариант так называемого «дифференциально-интегрального закона Ома». Для бесконечно малого проводника рассчитывается уровень плотности тока в зависимости от силы тока и значения проводимости.

При дифференциальном расчете берется формула: J = ό * E. Для интегрального расчета соответственно формулировка такая: I * R = φ1 — φ2 + έ Однако эти примеры достаточно ближе к школе высшей математики и фактически не используются в реальной практике простого электрика.

Использование формулы

Использование закона Ома позволяет строить временные характеристики различных элементов. С его помощью легко рассчитать нагрузки для электрических цепей, выбрать нужное сечение провода и правильно подобрать автоматические выключатели и предохранители. Понимание закона позволяет использовать правильный источник власти.

Использование закона Ома может быть использовано на практике для решения проблемы. Например, пусть имеется электрическая линия, состоящая из последовательно соединенных элементов, таких как: емкость, индуктивность и сопротивление.

 

При этом емкость C=2*F, индуктивность L=10 мГн, сопротивление R=10 кОм. Необходимо рассчитать импеданс всей цепи и рассчитать силу тока. При этом источник питания работает на частоте, равной f = 200 Гц, и выдает сигнал с амплитудой U = 12 0 В. Внутреннее сопротивление источника питания r = 1 кОм .

Сначала нужно рассчитать реактивное сопротивление в цепи переменного тока. Итак, емкость находится из выражения: Xc = 1/(2*p*F*C) и при частоте 200 Гц она равна: Xc = 588 Ом.

Индуктивное сопротивление находится из выражения: XL = 2 * p * F * L. При f = 200 Гц и что выходит: X * L = 1,25 Ом. Полное сопротивление цепи RLC составит: Z = ((10*10 3 +1*10 3) 2 + (588−1,25) 2) ½ = 11 кОм.

Разность потенциалов, изменяющаяся по закону гармонического синуса, будет определяться: U(t)=U*sin(2*p*f*t)=120*sin(3,14*t). Ток будет равен: I(t)=10*10-3+sin(3,14*t+p/2).

На основании расчетных данных можно построить график тока, соответствующий частоте 100 Гц. Для этого зависимость потока от времени показана в декартовой системе координат.

Следует отметить, что закон Ома для переменного сигнала отличается от используемого для классического расчета только учетом импеданса и частоты сигнала. И учитывать их важно, так как любая радиодеталь имеет как активное, так и реактивное сопротивление, что в конечном итоге сказывается на работе всей схемы, особенно на высоких частотах.

Поэтому при проектировании электронных структур, особенно импульсных устройств, для расчетов используется весь закон Ома.