Векторная диаграмма токов и напряжений

Векторные диаграммы и комплексное представление

Векторные диаграммы можно считать вариантом (и иллюстрацией) представления колебаний в виде комплексных чисел. При таком сравнении ось Ох соответствует оси действительных чисел, а ось Оу — оси чисто мнимых чисел (положительный единичный вектор, вдоль которого проходит мнимая единица).

Тогда вектор длины A, вращающийся в комплексной плоскости с постоянной угловой скоростью ω с начальным углом φ0, будет записан как комплексное число, а его действительная часть представляет собой гармоническое колебание с циклической частотой ω и начальной фазой φ0.

Хотя векторные диаграммы и комплексное представление колебаний, как видно выше, тесно связаны и фактически представляют собой варианты или разные аспекты одного и того же метода, они все же имеют свои особенности и могут использоваться по отдельности.

• Метод векторных диаграмм может быть изложен отдельно в курсах электротехники или элементарной физики, если по каким-либо причинам (обычно связанным с умеренным уровнем математической подготовки студентов и нехваткой времени) необходимо избегать использования комплексных чисел (явно) в общем.

• Метод комплексного представления (который при необходимости или желании может включать и графическое представление, которое, впрочем, совершенно необязательно, а иногда и избыточно) в целом более мощный, поскольку естественным образом включает, например, составление и решение систем уравнений любой сложности, тогда как метод векторных диаграмм в чистом виде пока ограничивается задачами на суммирование, которые можно изобразить на одном чертеже.

• Однако метод векторных диаграмм (в чистом виде или как графическая составляющая метода комплексного представления) более нагляден, а потому в ряде случаев потенциально более надежен (позволяет в какой-то степени избежать грубых случайных ошибок, которые могут возникают при абстрактных алгебраических вычислениях) и в ряде случаев позволяет добиться тем или иным образом более глубокого понимания проблемы.

Разновидности векторных диаграмм

Для корректного отображения переменных, определяющих функциональные возможности радиотехнических устройств, хорошо подходит векторная графика. Подразумевается соответствующее изменение основных параметров сигнала по стандартной синусоидальной (косинусоидальной) кривой. Для наглядности процесса гармоническое колебание представляется в виде проекции вектора на ось координат.

Используя стандартные формулы, легко рассчитать длину, которая будет равна амплитуде в определенный момент времени. Угол наклона укажет фазу. Суммарные влияния и соответствующие изменения векторов следуют обычным правилам геометрии.

Различайте качественные и точные диаграммы. Первый используется для учета взаимных отношений. Они помогают составить предварительную смету или используются для полной замены расчетов. На основе полученных результатов создаются другие, которые определяют размер и направление отдельных векторов.

Круговая диаграмма

Допустим, необходимо изучить изменение параметров тока в цепи при различных значениях сопротивления резистора в диапазоне от нуля до бесконечности. В этой схеме выходное напряжение (U) будет равно сумме значений (UR и UL) каждого из элементов.

Индуктивный характер второй величины предполагает перпендикулярное взаимное расположение, что хорошо видно на части рисунка б). Полученные треугольники идеально вписываются в сегмент круга на 180 градусов.

Эта кривая соответствует всем возможным точкам, через которые проходит конец вектора UR с соответствующим изменением электрического сопротивления. На второй диаграмме в) показана задержка тока по фазе с углом 90°.

Линейный график

Здесь показан биполярный элемент с активной и реактивной составляющими проводимости (G и jB соответственно). Аналогичные параметры имеет классический колебательный контур, созданный по параллельной схеме.

Упомянутые выше параметры могут быть представлены векторами, постоянными под углом 90°. Изменение реактивной составляющей сопровождается смещением вектора тока (I1…I3). Образовавшаяся линия располагается перпендикулярно U и на расстоянии Ia от нулевой точки до оси координат.

Примеры применения

Механика; гармонический осциллятор

• Гармонический осциллятор в механике и любой гармонический осциллятор формально представляют собой точную аналогию, поэтому мы рассмотрим их в одном разделе на примере механического гармонического осциллятора.
• Использование векторных диаграмм в механике в основном сводится к случаю гармонического осциллятора (в том числе и к случаю осциллятора с линейной по скорости силой трения); однако векторные диаграммы могут быть в какой-то мере полезны для изучения множества осцилляторов, в том числе в пределе их бесконечного числа (для колебаний или волн в распределенных системах).
• С современной точки зрения использование векторных диаграмм гармонического осциллятора представляет скорее лишь историко-познавательный интерес, но все же, в принципе, они здесь вполне применимы.
• В механике использование векторных диаграмм (обычно их приложение к одномерному осциллятору) имеет ту особенность, что добавление второй координаты для преобразования колебаний во вращение может иметь не только чисто формальный абстрактный смысл, но и для одномерного механической системы этого типа можно указать механическую двумерную систему, для которой векторная диаграмма сначала реализуется как вполне реальное двумерное механическое движение, а все векторы существенно двумерны (а после проецирования всех их и движение точки в двумерной системе по оси, получаем vi мгновенные значения соответствующих величин — в том числе положения — для соответствующей одномерной системы);

Для механической одномерной системы возможна не только формальная математическая модель, но и реальная механическая модель, преобразующая колебательное одномерное движение во вращательное движение в двумерном пространстве, реализующая векторную диаграмму для одномерного размерная система.

Рассмотрим два основных случая простого применения векторных диаграмм в механике (как упоминалось выше, применимых и к гармоническому осциллятору не только механического, но и любого рода): осциллятор без затухания и без внешней силы и осциллятор с (линейное) демпфирование (вязкость) и действие внешней силы.

Векторная диаграмма — удобный инструмент для представления синусоидальных функций времени, таких как напряжения и токи в электрической цепи переменного тока.

Например, рассмотрим произвольный ток, представленный в виде синусоидальной функции

i(t) = 10 sin(ωt + 30°).

Этот синусоидальный сигнал может быть представлен как комплексное значение

I = 10∠30°.

Для формирования комплексного числа используются модуль и фаза синусоидального сигнала.

Для построения векторных диаграмм сначала составляются уравнения по законам Кирхгофа для рассматриваемой электрической цепи.

Рассмотрим электрическую цепь, показанную на рис. 1, и начертите для него векторную диаграмму напряжения. Обозначим падение напряжения на элементах.Последовательное соединение элементов схемы

Составим уравнение для этой цепи по второму закону Кирхгофа:

УР + UL + UC = Е.

По закону Ома падение напряжения на элементах определяется следующим выражением:

УР = I ∙ R,

UL = I ∙ jXL,

UC = −I ∙ jXC.

Чтобы построить векторную диаграмму, необходимо показать члены, данные в уравнении, на комплексной плоскости. Обычно векторы токов и напряжений изображают в их шкалах: отдельно для напряжений и отдельно для токов.

Из курса математики известно, что j = 1∠90°, −j = 1∠−90°. Поэтому при построении векторной диаграммы умножение вектора на мнимую единицу j вызывает поворот этого вектора на 90 градусов против часовой стрелки, а умножение на −j вызывает поворот этого вектора на 90 градусов по часовой стрелке.

При построении векторной диаграммы напряжения на комплексной плоскости мы сначала показываем вектор тока I, после чего показываем векторы падения напряжения относительно него (рис. 2) с учетом приведенных выше соотношений для мнимой единицы.

Падение напряжения на резисторе UR совпадает по направлению с током I (поскольку UR = I∙R, а R — чисто действительная величина или, проще говоря, нет умножения на мнимую единицу). Падение напряжения на индуктивном сопротивлении опережает вектор тока на 90° (поскольку UL = I ∙ jXL, а умножение на j поворачивает этот вектор на 90° против часовой стрелки).

Падение напряжения на емкостном реактивном сопротивлении задерживает вектор тока на 90° (поскольку UC = −I ∙ jXC, а умножение на −j приводит к повороту этого вектора на 90° по часовой стрелке).

Следует отметить, что на одной векторной диаграмме изображаются только векторы тех величин, частота которых совпадает!

Рассмотрим электрическую цепь, показанную на рис. 3, и начертите для него векторную блок-схему. Обозначим направление тока в ветвях.Параллельное соединение элементов схемы

Составим уравнение для этой цепи по первому закону Кирхгофа:

I — IR — IL — IC = 0,

куда

I = IR + IL + IC.

По закону Ома определяем токи в ветвях по следующему выражению, учитывая, что 1/j = −j:

ИК=Э/Р,

IL = E/(jXL) = −j ∙ E/XL,

IC = E / (−jXC) = j ∙ E / XC,

Чтобы построить векторную диаграмму, необходимо показать члены, данные в уравнении, на комплексной плоскости.

При построении векторной диаграммы токов на комплексной плоскости сначала покажем вектор ЭДС Е, после чего покажем векторы токов относительно него (рис. 4) с учетом приведенных выше соотношений для мнимой единицы.

Ток в резисторе IR совпадает по направлению с ЭДС E (потому что IR = E/R, а R — чисто действительная величина или, говоря простым языком, нет умножения на мнимую единицу). Ток в индуктивном сопротивлении отстает от вектора ЭДС на 90° (поскольку IL = −j ∙ E / XL, и умножение на −j приводит к повороту этого вектора на 90° по часовой стрелке).

Ток в емкости опережает вектор ЭДС на 90° (поскольку IC = j ∙ E / XC, а умножение на j поворачивает этот вектор на 90° против часовой стрелки). Результирующий вектор тока определяется после геометрического сложения всех векторов по правилу параллелограмма.

Для произвольной цепи алгоритм построения векторных диаграмм аналогичен описанному выше с учетом токов, протекающих в ветвях, и приложенных напряжений.

Обратите внимание, что на сайте есть инструмент для построения векторных диаграмм онлайн для трехфазных цепей.

Свободные гармонические колебания без затухания

Продолжая изучение темы на примерах механических процессов, можно отметить возможность построения двумерной схемы. При этом скорость по оси X отображается так же, как и в одномерном варианте. Но здесь можно дополнительно учесть фактор ускорения, который направлен под углом 90° к предыдущему вектору.

Гармонический осциллятор с затуханием и внешней вынуждающей силой

В этом случае также можно использовать векторную графику для изучения взаимного влияния дополнительных факторов. Как и в предыдущем примере, скорость и другие величины представлены в двух измерениях.

Чтобы правильно смоделировать процесс, контролируйте суммарное действие внешних сил. Он направлен в центр системы (точку равновесия). По геометрическим формулам рассчитывается амплитуда механических колебаний после первого удара с учетом коэффициента демпфирования и других важных факторов.

Расчет электрических цепей

Векторная графика используется для относительно простых схем, которые состоят из набора элементов линейной категории: конденсаторов, резисторов, катушек индуктивности. Для более сложных цепей используется метод расчета «Комплексные амплитуды», где реактивные составляющие определяются с помощью импедансов.

Векторная диаграмма в этом случае выполняет функцию вспомогательного чертежа, упрощающего решение геометрических задач. Для катушек и конденсаторов, чтобы не пользоваться сложным исчислением, вводится специальный термин — реактивное сопротивление. При синусоидальном токе изменение напряжения на индуктивном элементе описывается формулой U=-L*w*I0sin(w*t+f0).

Легко увидеть сходство с классическим законом Ома. Но в этом примере фаза меняется. По этому параметру напряжение на конденсаторе отстает от тока на 90°. В индуктивности — обратное распределение. Эти функции учитываются при размещении векторов на рисунке. Формула учитывает частоту, которая влияет на значение этого элемента.

Дифракция

В этом случае используется то же отображение отдельных синусоид как векторов, что и в предыдущем примере. Суммарное значение также помещается в круг.

Как построить векторную диаграмму токов и напряжений

Расчеты в цепях с синусоидальными напряжениями и токами упрощаются, если вместо синусоид оперировать их образами — вращающимися векторами.

Проекция конца вектора на ось координат совершает синусоидальные колебания: каждое мгновенное значение тока соответствует моменту времени, можно рассматривать как проекцию на ось ординат вектора, повернутого на фазовый угол относительно оси абсцисс.

Так, синусоидальная функция условно представляется вектором, длина которого определяется его максимальным или действующим значением, а направление определяется его начальной фазой; положительная начальная фаза откладывается от горизонтальной оси в направлении вращения векторов (против часовой стрелки).

Векторы токов и напряжений, вращающиеся одновременно, стационарны друг относительно друга. Условное представление синусоидально изменяющихся во времени токов и напряжений с помощью векторов позволило записать первый и второй законы Кирхгофа в векторной форме.

Алгебраическое суммирование синусоид, т.е суммирование их мгновенных значений, соответствует геометрическим операциям над векторами, которые их представляют. Использование законов Кирхгофа в таком виде позволит путем построения векторных диаграмм легко и наглядно рассчитывать электрические цепи.

Приступая к графическому расчету штрафа по переменному току, следует помнить, что физические процессы в участках цепи с сопротивлением, индуктивностью и емкостью сильно различаются.

Следовательно, вектор тока и вектор напряжения имеют одинаковое направление.

В индуктивном элементе ток отстает от напряжения на
и соответственно располагаются векторы (рис. 3). Закон Ома для участка цепи только с индуктивным сопротивлением записывается .

Построение ВД напряжений и токов

В качестве примера построения ВД рассмотрим последовательную цепь с резистором R, индуктивностью L и конденсатором С. Схема показана на рисунке ниже.

Напряжения на элементах цепи — UR, UL, UC. Ток в цепи I.

Выходное напряжение U = UR + UL + UC.

Пусть в цепи течет синусоидальный ток с частотой ω и с нулевым фазовым сдвигом. При ненулевом фазовом сдвиге ВД просто повернется на этот начальный угол и его общий вид не изменится. Амплитуды напряжения на каждом элементе в виде закона Ома:

|U|R = R* |i|

|U|L = 1/ωC*|i|

|U|С = ωL* |i|

Длины векторов, соответствующие этим амплитудам, нанесены на ВД. При этом каждый вектор используется с учетом его фазового сдвига. Суммарный вектор оказался равным U = UR + UL + UC, но теперь это доказано геометрически на диаграмме.

Модуль полного вектора равен длине гипотенузы прямоугольного треугольника со сторонами |U|R, (|U|L — |U|С). Используя теорему Пифагора, мы можем вычислить |U|:

|U|2 = UR2+ (UL – UC)2

Используя приведенные выше формулы, получаем:

|U|2 = (i0 * R)2 + (i0 * ωL – i0/ ωC)2

Можно вынести i0 за скобки (текущая амплитуда — длина вектора i), тогда:

|U|2 = i02 * (R2 + (ωL – 1/ωC)2

По последней формуле можно рассчитать амплитуду синусоидального напряжения. Полученные формулы справедливы для случая обратной задачи, когда необходимо найти ток в цепи с известным источником напряжения.

Алгоритм создания лучевой векторной диаграммы в Excel

Для упрощения нашего урока предположим, что речь идет не об отношениях между четырнадцатью, как на графике, а пока только с 4 людьми по имени Антон, Алиса, Борис и Белла.

Наша матрица уровней отношений и связи между ними выглядят так:

• 0 означает отсутствие соединения;
• 1 означает слабую связь (например: Антон и Алиса знают только друг друга);
• 2 означает крепкие отношения (например, Борис и Алиса дружат).

Как можно геометрически смоделировать визуализацию этих входных данных? Если бы мы нарисовали отношения между этими четырьмя людьми (Антоном, Алисой, Борисом и Беллой), схематически это выглядело бы так:

2 критерия, которые мы должны определить:

1. Размещение точек (там, где напечатаны имена людей).
2. Линии (начальная и конечная точки для соединительных линий).

Определение и построение точек

Во-первых, нам нужно построить наши точки таким образом, чтобы разрыв между каждой точкой был одинаковым. Это создаст сбалансированный график.

Какая геометрическая фигура лучше всего удовлетворяет нашу потребность в таких равных интервалах? Конечно круг!

Вы можете возразить, что на готовой модели диаграммы нет круглой формы. Да уж нет — так оно и есть. Нам не нужно рисовать круг. Нам просто нужно нарисовать точки вокруг него.

Итак, у нас есть 4 заинтересованные стороны, нам нужно 4 точки:

1. Если у нас есть 12 заинтересованных сторон, нам нужно 12 баллов.
2. Если у нас 20, нам нужно 20 очков.

Предполагая, что начало окружности равно (x, y), радиус равен r, а тета равна 360, деленная на количество нужных нам точек. Первая точка (x1, y1) на окружности будет в таком положении:

• xl = x + r * COS (тета);
• y1 = y + r * SIN (тета).

Как только все точки будут рассчитаны и подключены к диаграмме XY (точечный график), давайте двигаться дальше.

Читайте также: Определение мощности электрического тока: обозначение и единицы измерения

Построение линий на лучевой диаграмме

Допустим, у нас есть n человек в нашей сети. Это означает, что у каждого человека может быть максимум n-1 отношений.

Таким образом, общее количество возможных линий на нашем графике равно n * (n-1) / 2.

Нам нужно разделить его на 2, так как если А знает Б, то Б тоже знает А. Но нам нужно провести только 1 линию.

Шаблон карты луча сетевого анализа настроен для работы с 20 людьми. Его можно скачать в конце статьи и использовать как готовый аналитический инструмент для визуализации этих взаимосвязей. Это означает, что максимальное количество строк, которые мы можем иметь, будет равно 190.

Каждая строка требует добавления отдельной серии на диаграмму. Это означает, что нам нужно добавить 190 рядов данных только для 20 человек. И он удовлетворяет только одному типу линии (пунктирной или толстой). Если нам нужны разные строки в зависимости от типа отношений, нам нужно добавить еще 190 серий.

Это больно и смешно одновременно. К счастью, выход есть!

Мы можем использовать гораздо меньшее количество серий и по-прежнему строить тот же сюжет.

Допустим, у нас есть 4 человека — A, B, C и D. Для простоты предположим, что координаты этих 4 человек следующие:

• А — (0,0);
• Б — (0,1);
• С — (1,1);
• Д — (1,0).

И допустим, у A есть отношения с B, C и D.

Это означает, что нам нужно провести 3 линии: от A до B, от A до C и от A до D.

Теперь вместо того, чтобы помещать 3 ряда для диаграммы, что, если мы поместим длинный ряд, который выглядит так:

(0,0), (0,1), (0,0), (1,1), (0,0), (1,0)

Это означает, что мы просто рисуем длинную линию от A до B, от A до C, от A до D. Конечно, это не прямая линия, но диаграмма рассеяния Excel может нарисовать любую линию, если вы зададите ей набор координат.

Таким образом, вместо 190 рядов данных для диаграммы нам нужно всего 20 рядов.

На последнем графике у нас есть 40 + 2 + 1 ряд данных. Потому что:

• 20 линий для слабых отношений (пунктирные линии);
• 20 линий для крепких отношений (толстые линии);
• 1 строка, чтобы выделить синим цветом слабые отношения с выбранным участником;
• 1 строка, чтобы отметить зеленым цветом крепкие отношения с выбранным участником;
• 1 набор без линий, просто точки для меток данных на графике.

Как сгенерировать все 20 рядов данных:

Для этого требуется следующая логика:

• Предполагая, что нам нужны линии для отношений между людьми и n.
• Оценка этого человека будет (Xn, Yn) и уже рассчитана ранее (в баллах на графике по кругу).
• Нам нужно всего 40 строк данных.
• Каждая нечетная строка будет иметь (Xn, Yn).
• Для каждого четного ряда:

• разделите номер строки на 2, чтобы получить номер человека (скажем, m
• (Xn, Yn), если нет связи между n и m
• (Xm, Ym), если есть связь.

Нам нужны формулы MOD и INDEX, чтобы выразить эту логику в Excel.

После того, как все координаты линий будут рассчитаны, добавляем их на нашу диаграмму рассеяния в виде нового ряда с помощью инструмента из дополнительного меню: «РАБОТА С ДИАГРАММОЙ» — «ДИЗАЙН» — «Выбрать данные» в окне «Выбор источника данных» используйте » Добавить»- кнопка для добавления всех 43 строк.

Реализуем создание такой лучевой диаграммы соединений в 3 шага:

1. Подготовка исходных данных.
2. Обработка данных.
3. Визуализация.

Подготовка данных для лучевой диаграммы

Как было сказано выше, в этом шаблоне будет возможность визуального построения ссылок до 20 участников (компаний, филиалов, контрагентов и т.д.). На листе рабочей тетради шаблона «Данные» сопроводительная таблица для заполнения поступающих значений. Например, заполним для 14 участников рынка:

На этом же листе создадим дополнительную таблицу, представляющую собой матрицу связей всех возможных участников, сгенерированную по формуле:

После подготовки данных мы готовы перейти к обработке.

Как вычислить сумму векторов?

Векторы и матрицы в электронной таблице хранятся как матрицы.

Известно, что сумма векторов — это вектор, координаты которого равны сумме соответствующих координат исходных векторов:

Для вычисления суммы векторов необходимо выполнить следующую последовательность действий:

– В диапазонах ячеек той же размерности введите значения числовых элементов каждого вектора.

– Выберите диапазон ячеек для вычисляемого результата той же размерности, что и исходные векторы.

– Введите формулу умножения диапазона в выбранном диапазоне

– = Address_Vector_1 + Address_Address_Vector_2

– Нажмите комбинацию клавиш Ctrl + [Shift] + [Enter].

Пример.

Даны два вектора:

Необходимо вычислить сумму этих векторов.

Решение:

– В ячейки диапазона А2:А4 вводим значения координат вектора а1, а в ячейки диапазона С2:С4 – координаты вектора а2.

– Выберите ячейки в диапазоне, где должен быть рассчитан результирующий вектор C (E2:E4), и введите следующую формулу в выбранном диапазоне:

=А2:А4+С2:С4

– Нажмите комбинацию клавиш Ctrl + [Shift] + [Enter]. В ячейках диапазона E2:E4 будут вычислены соответствующие координаты результирующего вектора.

Сложение и вычитание векторов

Основным преимуществом векторов является возможность простого сложения и вычитания двух величин. Например: требуется сложить два тока, заданные уравнениями

Сложим два заданных тока i1 и i2 по известному правилу сложения векторов (рис. 12.12, а). Для этого представим токи в виде векторов из общего начала 0. Результирующий вектор находится как диагональ параллелограмма, построенного из слагаемых векторов:

Im = Im1 + Im2

Добавление векторов, особенно трех и более, удобнее выполнять в таком порядке: один вектор остается на месте, остальные перемещаются параллельно
а самому себе так, чтобы начало следующего вектора совпадало с концом предыдущего.

Вектор Im, проведенный от начала первого вектора до конца последнего, представляет собой сумму всех векторов.

Вычитание одного вектора из другого осуществляется сложением прямого вектора (приведенного) и обратного (вычитаемого) (рис. 12.13):

При сложении синусоидальных величин в ряде случаев можно использовать аналитическое решение: применительно к рис. 12.12, а — по теореме косинусов; к рис. 12.14, а — сложение модулей векторов; б — вычитание модулей векторов, в — по теореме Пифагора.