Формулы расчета резонансной частоты колебательного контура: амплитуда резонанса

Эффект резонанса

Ярким примером механического класса резонаторов является пружинный маятник. Профессор Массачусетского технологического института (в Америке) В. Левин акцентирует внимание студентов на том, что резонанс (резонанс) — это эффект, связанный с увеличением амплитуды. Установка используется для демонстрации явления. Он состоит из следующих компонентов:

• электродвигатель;
• механизм, преобразующий вращение в возвратно-поступательное движение;
• ЛАТР — лабораторный автотрансформатор;
• пружина из медной проволоки с набором грузов;
• весеннее руководство.

Направление колебаний пружины вертикальное. Вращение вала двигателя заставляет пружину колебаться. С помощью автотрансформатора можно регулировать напряжение. Регулировка позволяет варьировать частоту вращения вала и колебания маятника. При изменении частоты вращения вала амплитуда возвратно-поступательного движения остается неизменной.

Перед опытом измеряют растяжение медной пружины под действием грузов (для оценки резонансной частоты пружины). Изменение частоты вращения вала вызывает изменение амплитуды колебаний конца пружины с грузом. Амплитуда увеличивается и на частоте 1 герц становится максимальной (~30 см).

Важно! При дальнейшем увеличении частоты вращения вала амплитуда конца пружины начинает уменьшаться. Это означает, что резонанс пройден. Если уменьшить напряжение, а вместе с ним и скорость двигателя, можно снова наблюдать резонансный эффект вибрации пружины.

Добротность пружины Q определяется как отношение амплитуды колебаний пружины Aпр к амплитуде колебаний движущей силы Avs. В этом случае Q = Apr/Avs = 30/5 = 6, где Avs = 5.

Определение колебательного контура

Солнечные батареи

Резонансные явления, отмечаемые в электротехнике, ярко выражены в схемах колебательных контуров (КЦ). Такие конструкции представляют собой элементарные системы, способные совершать свободные колебания электромагнитной природы. Фактический КК в схеме состоит из следующих элементов:

• конденсатор;
• катушки индуктивности;
• источник тока.

Обратите внимание на следующее! Выходы элементов схемы могут быть соединены между собой параллельно или последовательно. Все зависит от того, какого результата нужно добиться от резонанса в КК.

Колебания и частота

Но сначала нам нужно сделать небольшой шаг назад: прежде чем обсуждать понятие резонанса, давайте вспомним, что такое колебания.

Колебания — это процесс изменения состояний системы вблизи точки равновесия, в той или иной мере повторяющийся во времени.

Движение качелей, приливы и отливы, колебания маятника — все это примеры колебательных движений.

Виды колебаний

Колебания классифицируют по-разному. Если говорить об их природе, то можно различать механические и электромагнитные колебания. В обоих случаях происходит периодическое изменение физической величины, только при механических колебаниях это изменение ускорения, скорости и координат тела, а при электромагнитных колебаниях — напряжения, силы тока и заряда.

По способу подвода энергии колебания делятся на свободные, вынужденные и самопроизвольные.

• Свободные колебания — колебания в системе под действием внутренних сил, после выведения системы из положения равновесия. Например: вибрация гитарной струны, движение мячика по струне, изменение положения качелей или ветки дерева, с которой спрыгнула кошка.
• Вынужденные колебания – это колебания, возникающие под действием внешних периодических сил. К ним относятся раскачивание ветки из-за ветра, работа иглы швейной машины и всех электроприборов, движение поршня в двигателе внутреннего сгорания.
• Автоколебания – это незатухающие колебания, существующие за счет энергии, поступающей в систему под ее собственным контролем. Это и сокращения сердца, и транзисторы, и колебания маятника в часах. Подумайте и ответьте сами, почему эти примеры подходят нам?

По типу амплитуды колебания делятся на:

• гармонический (физическая величина изменяется во времени по гармоническому закону — закону синуса или косинуса);
• затухающие (колебания, энергия которых со временем уменьшается);
• незатухающие (колебания, энергия которых не меняется во времени).

 

Характеристики колебаний

Помимо классификации, флуктуации характеризуются определенными физическими терминами, позволяющими дать количественную характеристику флуктуациям.

Амплитуда колебаний — максимальное значение смещения или изменения переменной.

Если рассматривать волновое движение как пример колебаний, то пики (максимальное и минимальное значение функции) будут показывать амплитуду.

Если говорить о движении маятника, то амплитуда — это максимальное расстояние, на которое тело перемещается от точки равновесия.

Поскольку колебания представляют собой повторяющиеся движения, можно говорить о частоте и периоде колебаний.

Период колебаний – это время, за которое происходит колебание. В физике он обозначается буквой и измеряется в секундах.

где – время колебаний, – число колебаний.

Частота колебаний обратна периоду. Он показывает, сколько колебаний происходит в единицу времени, и измеряется в герцах.

 

Суть явления резонанса

Теперь мы готовы двигаться дальше и выяснить, что такое резонанс в физике.

Резонанс (от латинского resono — отвечаю) — это достижение максимальной амплитуды колебаний системы.

Как это может произойти? Рассмотрим другое определение:

Резонанс в физике — это отклик колебательной системы на периодическое воздействие внешней силы, проявляющийся в синхронизации частот колебаний системы с частотой внешнего воздействия, что вызывает явление резкого увеличения амплитуды колебаний вынужденные колебания этой системы.

Представьте, что ваш младший брат или сестра качаются на качелях. Чтобы раскачать их еще больше, встаньте рядом и примените силу, еще больше выведя качели из равновесия. Чтобы амплитуда действительно увеличилась, надо встать в нужном месте и отжиматься в нужное время, иначе ничего не получится.

У вас есть маленькие родственники? Так что садитесь на качели сами! Даже если сильно раскачиваться, без дальнейшего удара раскачивание быстро остановится. Так что вы должны помочь им раскачиваться, толкать их своим телом в правильном направлении и в нужную секунду. Таким образом, частота ваших движений должна полностью совпадать с частотой поворота, и тогда вы сможете безбоязненно взмывать в небо!

Резонансная частота — частота движущей силы, равная собственной частоте колебательной системы, при которой достигается максимальная амплитуда.

Резонанс возникает во всех упругих средах: твердых, жидких и газообразных, главное из которых — наличие резонансной частоты.

На графике представлена ​​зависимость амплитуды от частоты вынуждающей силы. Как видим, существует частота, при которой достигается максимальное отклонение от точки равновесия. График функции быстро поднимается, достигает высшей точки, а затем также быстро снижается, а значит, постоянное увеличение частоты не даст лучшего отклонения — здесь важно вовремя остановиться.

Явление резонанса может быть как благотворным, так и вредным: из-за него рушатся здания и сооружения, но он же является основой, главным фактором работы музыкальных инструментов.

Принцип действия колебательного контура

Так как же работает колебательный контур? Разделим процесс на два этапа.

Положительно заряженная пластина конденсатора начинает разряжаться. Ток входит в электрическую цепь, перетекая от положительного заряда к отрицательному через соленоид. В цепи возникают электромагнитные колебания. Разрядный ток конденсатора, проходя по виткам катушки, создает магнитное поле. В катушке возникает ЭДС самоиндукции, препятствующая мгновенному разряду конденсатора, ток постепенно увеличивается. С увеличением тока разряда электрическое поле в конденсаторе уменьшается, но увеличивается магнитное поле катушки. В момент, когда поле конденсатора исчезнет (конденсатор разрядится), магнитное поле катушки будет максимальным. Ток, прошедший через соленоид, идет на вторую пластину и заряжает ее положительно (в то время как первая пластина, от которой прошел ток, получает отрицательный заряд).

Процесс обратный: Полностью разрядившись, конденсатор за счет энергии ЭДС катушки, которая в этот момент будет максимальной, снова начнет заряжаться. По мере уменьшения заряда ток ослабевает, а вместе с ним и магнитное поле. Ток течет через катушку от положительно заряженной пластины (той, что была отрицательно заряжена в начале первого этапа) к отрицательно заряженной. Все заряды возвращаются в исходное положение.

Цикл повторяется до тех пор, пока конденсатор не зарядится. В идеальном колебательном контуре этот процесс происходил бы сколь угодно долго, а в реальном неизбежны потери энергии и колебания затухают.

Формула Томпсона

Характеристики L и C колебательного контура связаны формулой Томпсона, описывающей период свободных колебаний в LC-контуре:

, где Т — период электромагнитных колебаний, L — индуктивность катушки колебательного контура, С — емкость конденсатора, π — число пи.

Эта формула колебательного контура является одной из самых важных, обратите на нее особое внимание!

Закон сохранения энергии в колебательном контуре

В колебаниях, как и в любом другом движении, действуют законы сохранения энергии. Как это выражается?

Принцип работы схемы основан на преобразовании энергии, превращении электрической энергии в магнитную и наоборот. Тогда энергию колебательного контура можно описать следующим образом:

W = WC(t) + WL(t) = const

Когда энергия электрического поля становится максимальной, энергия магнитного поля равна нулю, что работает в обратном направлении.

1	Максимум при q max:	0
2	0	Максимум при I max::

Поскольку энергии достигают своего максимума при равном числовом значении, заключаем:

Виды резонанса

В физике рассматриваются следующие виды резонанса:

1. механический;
2. электрический;
3. акустический.

Кроме того, в повседневной жизни мы используем такие устойчивые выражения, как социальный и когнитивный резонанс. Давайте подробнее рассмотрим все эти типы!

Механический резонанс

Механический резонанс – это резонанс, вызванный механическим воздействием.

Сюда входит и наш пример с качелями, а также раскачивание и обрушение моста под действием ветра.

Этому явлению есть историческое подтверждение: 7 ноября 1940 года полностью обрушился двухкилометровый Такомский мост в США.

Порывы ветра отклоняли мост в одну сторону, создавая колебания, которые не могло погасить сопротивление воздуха, и благодаря упругости конструкции движение по ветру начиналось снова и снова. Наконец амплитуда движения стала такой большой, что мост не выдержал и рухнул.

При строительстве очень часто возникает механический резонанс, когда частота вибрации частей объекта совпадает с частотой внешних сил (ветер, рабочие инструменты), поэтому инженеры и строители зорко следят за этими показателями.

Электрический резонанс

Электрический резонанс — это увеличение токов и напряжений на отдельных участках цепи при изменении частоты гармонического сигнала.

Резонанс в электрических цепях возникает при обмене энергией между емкостными элементами — конденсаторами и индуктивными элементами — катушками, входящими в состав этой цепи.

Амплитуда достигает своего максимального значения на определенной частоте, когда индуктивная и емкостная составляющие системы уравновешены, и энергии могут свободно циркулировать между магнитным полем катушки и электрическим полем конденсатора.

Магнитное поле индуктивного элемента генерирует электрический ток, который заряжает конденсатор, а разряд конденсатора создает в катушке магнитное поле. Этот процесс можно повторять много раз.

Условие возникновения резонанса в электрической цепи можно выразить формулой где — резонансная частота, — индуктивность катушки, — емкость конденсатора.

Различают резонанс тока (при параллельном соединении катушки и конденсатора) и резонанс напряжения (при последовательном соединении элементов).

Такие устройства, как трансформаторы электрического резонанса, катушка Тесла и многие современные электронные устройства, работают на принципах электрического резонанса.

Читайте также: Ремонт мультиварки своими руками, схема, устройство

Акустический резонанс

Все началось с изучения именно этого типа резонанса! В 1602 году Галилео Галилей исследовал маятники и струны различных музыкальных инструментов. Открытия, сделанные им, позволили сделать ряд выводов и создать новую отрасль физики — изучение звуковых колебаний.

Акустический резонанс — это явление, при котором акустическая система усиливает звуковые волны, частота которых соответствует одной из ее собственных частот колебаний (резонансным частотам).

Благодаря акустическому резонансу музыкальные инструменты способны функционировать, особым образом воспроизводить звук. Большую роль в этом играет форма инструмента. Звук, издаваемый струной, проникает в тело и резонирует там со стенками, что в итоге многократно усиливает его.

Грушевидная форма гитары, специфическая длина флейты, форма барабана не являются результатом случайного выбора — с древних времен путем проб и экспериментов выбиралась именно такая структура каждого инструмента, потому что лучшего акустического резонанса.

На этот показатель влияют и свойства струны: акустический резонанс зависит от длины, массы и натяжения струны.

Формула расчета резонансной частоты в акустике:

где – резонансная частота, – сила натяжения, – масса единицы длины струны, m – полная масса струны.

Акустический резонанс играет важную роль в нашем слухе. Благодаря ему наружное ухо усиливает звуки средней частоты, составляющие основную часть речевого спектра, а также различает высоту и тембр звука.

Полезно знать Сегодня мы коснулись понятия социального и когнитивного резонанса, но не объяснили значение этих терминов. Почини это!

• Общественный резонанс – это событие, на которое общество дает яркий отклик.
• Когнитивный резонанс – это полное совпадение взглядов и мнений.

Многие слова и устойчивые выражения, которые мы используем в повседневной жизни, основаны на физических явлениях и законах. Резонанс, инерция, энергия, напряжение и многие другие термины, с которыми мы сталкиваемся каждый день, но знаем ли мы, что они на самом деле означают?

Подключение к цепи индуктивной катушки

Включение дросселя в емкостную цепь сразу делает ее КК. В зависимости от схемы подключения различают два типа КК класса 1: параллельный и последовательный.

Параллельный КК

В этой цепи конденсатор С подключен параллельно катушке L. Если к катушке подключить заряженный конденсатор, то накопленная в нем энергия будет передаваться ей. Через катушку индуктивности L будет протекать ток, вызывающий электродвижущую силу (ЭДС).

ЭДС самоиндукции L будет направлена ​​на уменьшение тока в параллельной цепи. Ток, создаваемый этой ЭДС, и ток разряда емкости в основном одинаковы, и их суммарное значение равно нулю. Конденсатор передаст свою энергию Ec катушке и полностью разрядится.

Индуктивность, получив максимальную магнитную энергию EL, начнет заряжать емкость напряжением другой полярности. Когда вся энергия с индуктивности перейдет в емкость, конденсатор будет полностью заряжен. В цепи происходят колебания, такая цепь называется колебательной.

Параллельный контроль качества

К вашему сведению. Если бы в такой цепи не было потерь, такие колебания никогда бы не затухли. На практике продолжительность процесса зависит от потерь энергии. Чем больше потери, тем короче продолжительность колебаний.

Параллельное соединение C и L вызывает резонанс токов. Это означает, что токи, проходящие через C и L, выше по величине, чем ток через саму цепь, в определенное число раз. Это число называется добротностью Q. Оба тока (емкостный и индуктивный) остаются внутри цепи, поскольку находятся в противофазе, и они взаимно компенсируются.

Последовательный КК

В этой схеме катушка и конденсатор соединены последовательно друг с другом.

Серийный контроль качества

В такой цепи возникает резонанс напряжений, R цепи стремится к нулю в случае образования резонансной частоты (fres). Это означает, что такую ​​резонансную систему можно использовать в качестве фильтра.

Резонансная частота

Связаться с сопротивлением

При подаче на два КК (параллельный и последовательный) переменного напряжения различной частоты их реактивные сопротивления С и L изменятся. Изменения заключаются в следующем:

• с увеличением f емкостное сопротивление уменьшается, а индуктивное сопротивление увеличивается;
• при уменьшении f емкостное сопротивление увеличивается, а индуктивное сопротивление уменьшается.

Частота, при которой реактивные сопротивления обоих элементов цепи равны, называется резонансной.

Важно! При фрезеровании сопротивление параллельного КС будет максимальным, а последовательного КС минимальным.

Формула резонансной частоты, которая имеет вид:

мельница = 1/2π*√L*C,

куда:

• L – индуктивность, Гн;
• С — емкость, Ф.

Подставив известные значения емкости и индуктивности в формулу резонансной частоты колебательного контура любой конфигурации, можно вычислить этот параметр.

Для определения периода колебаний КК и резонансной частоты можно воспользоваться онлайн-калькулятором на соответствующем портале в сети. Профессиональная программа имеет простой интерфейс.

Пример интерфейса электронного калькулятора LC-петли

Применение колебательных контуров

Детальный расчет колебательного контура позволяет точно подобрать номинал необходимых элементов переменного тока. Это позволяет использовать их в электронных схемах в виде:

• частотные фильтры — в радиоприемниках, генераторах сигналов, преобразователях и выпрямителях;
• колебательные контуры — для выбора и настройки на определенную частоту радиовещательной станции;
• токовые резонансные фильтры — для формирования синусоидального напряжения.

На гражданской авиации КЦ используется в блоках управления частотой генератора.

Условие отсутствия резонанса

Для возникновения резонанса, формула которого для тока ω0*C = 1/ ω0*L, необходимо выполнение этого равенства. Существуют условия невозможности появления этого эффекта, а именно:

• система не имеет собственных колебаний;
• невозможность согласования частоты внешних воздействий с собственной частотой системы.

Амплитуда резонанса

На переменном токе при подаче переменного напряжения от внешнего источника наблюдаются два вида резонанса и резкое возрастание двух видов амплитуды: амплитуды тока и амплитуды напряжения.

Амплитуда тока

Амплитуда тока резко возрастает при резонансе напряжения в последовательной цепи (последовательный резонанс). Источник переменной ЭДС включен в цепь, где нагрузка включена последовательно с элементами L и С.

В этом случае в схему включены резисторы: активный r и реактивный x, равные:

х = хL — хС.

Так как для внутренних колебаний xL и xC равны, то и для тока, идущего от генератора, при резонансе (когда частоты одинаковы) эти значения также совпадают. Следовательно, x = 0. В результате общее сопротивление цепи будет состоять лишь из небольшого количества активного сопротивления. В этом случае ток максимален.

Схема (а) и резонансные кривые (б) для резонанса напряжения

Амплитуда напряжения

Токовый резонанс (параллельный резонанс) является условием резкого увеличения амплитуды напряжения. Источник ЭДС подключается вне цепи и нагружается параллельно включенными элементами L и C. При этом на резонансный эффект влияет внутреннее сопротивление генератора.

Амплитуда напряжения на цепи максимальна при малой разнице между напряжением цепи и напряжением генератора. Это возможно для малых Ri.

Обратите внимание на следующее! Изменение частоты генератора меняет ток, а амплитуда напряжения на цепи не следует за напряжением на генераторе. Если, U = E — I * Ri, где E — ЭДС, I — сила тока, то при малом Ri U = E.

 

Формула определения расчетной резонансной частоты для разных колебательных систем отличается входящими в нее параметрами. Несмотря на все различия, суть остается прежней: эффект резонанса возникает, когда частота внутренних колебаний в системе и внешние воздействия становятся равными друг другу.